|
||
| 1. Bölüm : Modern Matematiğin temel Prensipleri CALCULUS İlk olarak matematiğin temellerinden birine değinelim. Calculus. Newton ile Leibniz i karşı karşıya getiren ve Newton un icadı sayılsa da bu şüpheli olan bir buluştur. Ancak Newton un yöntemi Leibniz den çaalmış olma olasılığı da düşüktür. Yüksek olasılık ile Gottfried Leibniz de aynı yöntemi Newton dan bağımsız olarak temel teoremleri geliştirmiş ancak Sir Isaac Newton un yayınlama şansına ünvanının da yardımı ile kolayca kavuşup Leibniz i bertaraf ettiği söylentisi vardır. (Bilim de bile bu var işte) Ancak her ikisi de Calculus un babaları olarak kabul edilirler. Calculus, Çakıl taşı manasına gelir. Gerçekten de modern mühendisliğin ve zamanımız tekniğinin temelini oluşturmaktadır. Tüm mühendislik hesapları için öğrenilmesi şart olan temel disiplindir. Pozitif bilim bu yöntemlerin gelişiminden sonra,kuru varsayım ve metafizik ile bqağlarını büyük oranda koparmış,insanlık yüksek binalardan uydu yörüngeye oturtmaya ve gezegenler arası araç yollamaya doğru yeni bir yola çıkmıştır. Calculus un konusunu, Diziler-Seriler, Vektörler, Süreklilik, Limit, Türev, İntegral konularını içerir. Hepsi de bir nevi birbirinden türetilmiştir. A)DİZİLER Tanım kümesi doğal sayılar, değer kümesi reel sayılar olan fonksiyonlardır. 1/2,1/4,1/8,...1/2^n gibi Dizi 1/2^n şeklinde gösterilir. B)SERİLER; Sonsuz dizi toplamına seri denilir. Yani Bir Xn dizisi için; X1+X2+X3.....Xn+.... sonsuz toplamı bir Seri dir. Eğer bu sonsuz Xn dizisinden oluşmuş Sn gibi bir dizinin Limiti var ve Xn dizi toplamı a gibi bir sayı çıkıyorsa seri yakınsak, sonsuza doğru gidiyor ise ıraksak seridir C)SÜREKLİLİK; Kısaca bir fonksiyonun atlama yapıp yapmadığını kontrolü içindir. Yani bir fonksiyonun grafiği el kaldırmadan çizilebiliyorsa o süreklidir. Bir fonkssiyonun bir a noktasında sürekli olabilmesi için ise; f fonksiyonu a noktasında tanımlı olmalı, f fonksiyonunun a noktasında limiti olmalı, f fonksiyonunun a noktasındaki limiti a noktasındaki fonksiyon değerine eşit olmalıdır. D)VEKTÖRLER; Uzunluk, alan ve hacim gibi büyüklüklerin yanlızca bir gerçel sayı ile belirtilmelerine karşın, özellikle ivme, hız, kuvvet gibi nicelikleri belirlemek için bir gerçel sayı yeterli değildir. İkinci türden niceliklerin bir yönü, doğrultusu, büyüklüğü ve uygulama noktası vardır. Bu büyüklükler için yönlendirilmiş doğru parçaları kullanılır. İşte bu tür kuvvet ve yön gibi nitelikler, onlarla ilgili işlemler vektörlerin konusunu oluşturur. Fiziksel niceliklerin birbirine göre etkileşimlerini hesaplamada önemli bir yöntemdir. F)LİMİT Herhangi bir f(x) fonksiyonu verilsin. x noktası bir a noktasına yeteri kadar yaklaşsın. x noktasının a noktasına reel eksen üzerinde sağdan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklaşımı vardır. ←---------------------------*------------------------------→ --------←a→-------- x-1/n x+1/n x değerinin a değerine eşit olması şart değildir. Hatta birçok durumda a noktası f(x) fonksiyonunun tanımlı bölgesinde de olmayabilir.(∞ kavramında olduğu gibi örneğin) x noktası a noktasına soldan ve sağdan yaklaşırken f(x) fonksiyonu herhangi bir K değerine yaklaşıyor ise f(x) fonksiyonunun bu a noktasında limiti vardır denir. (Her iki taraftan da aynı değere yaklaşıyorsa limiti vardır) lim f(x) = K ile gösterilir. x→a (x noktası a ya giderken f(x) fonksiyonunun limiti K dır, diye okunur.) Eğer x noktası , a ya yaklaşırken f(x) fonksiyonu bir L sayısına yaklaşlmıyorsa, f(x) fonksiyonunun limiti yoktur, denir. Yukardaki açıklamalar gösteriyor ki, f(x) fonksiyonunun x=a noktasına sağdan ve soldan yaklaşımları için , f(x) fonksiyonunun değerine eşlit olması gerekir. Yani; lim f(x) = K1 ve lim f(x) = K2 x→a- x→a+ K1=K2=K => lim f(x) = K dır x→a Aksi takdirde bu noktada limit yoktur. Limit kavramı latince "limes" uç nokta anlamına gelir. Öklid ve Arşimet eğrisel kenarlarla ilgili problemlerde kullanmıştır. Ancak sonra unutulmuştur. (Skolastik) Newton ve Leibniz tekrar biçimlendirince fizikteki bir çok imkansızlık ve çözülemeyen belirsizlikler de tarihe karışmıştır. Örneğin Zenon un mesafeyi sürekli ikiye bölerek mesafenin aşılamaması gerektiğini ancak yine de ok un hedefine vardığını öne sürüp buradan gerçeğin bilinemeyeceğini ortaya attığı paradoksu tarih olmuştur. Sonsuz bölme işleminin en ideal koşulunda maksimum hiç liğe ulaşmaktan başka bir sonucu olamayacağı aksiyomundan türetilmiş Limit teoremi,aynı zaman da sonsuz kenardan oluştuğu varsayılarak geometrik yaklaşımda bulunulan eğri alanlarının da hesaplanabilmesine olanak tanımıştır. Bunun sonucu olarak yine Newton ve Leibniz Limit teoremine dayanarak diferansiyel hesabı geliştirmiş (1. 2.... dereceden türev ve integral hesapları ve denklemleri) böylece de bir çok sonsuzluk ve tanımsızlık problemi çözülerek insanlığın mühendislikte sıçraması sağlanarak uzay ve atom teknolojisinin temeli atılmıştır. (Diferansiyel hesap da eğriler sonsuz küçük uzunlukta ve sonsuz kenarlı çokgenler olarak kabul edilir. Böylece limit teoreminden hareketle mümkün çözümleri bulunabilir. Bu da diferansiyel denklemlerin alanına girer.) G)TÜREV; lim { [f(x) - f (a)] - [x-a]} / x-a ∈ R ise bu limite f fonksiyonunun a noktasındaki türevi denilir. x→a df/dx(a) (Newton) veya F'(a) (Leibniz) şeklinde gösterilir. Buradan; h ∈ R- {0} olmak üzere, x = a + h yazılırsa; lim { [f(x) - f (a)] - [x-a]} / x-a = lim { [f(a+h) - f (a)] - [x-a]} / a+h-a = x→a x→h a' lar gider; f ' (a) = lim { [f(a+h) - f (a)] / h olur. Yani; h→0  h değeri sıfıra yaklaştıkça d doğrusu da y= f(a) eğrisine yani a ve f(a) noktasındaki teğete yaklaşır. Yani türev bir fonksiyonun grafiğine belli bir noktada çizilmiş teğetin eğimini veren fonksiyondur. Buradan da örneğin Fizikte ayrıca, yol grafiği bilinen bir hareketin zamana göre birinci türevi hızının ölçüsünü, ikinci türevi de ivmesinin yani anlık hızının ölçüsünü kestirebilmemizi sağlar. İNTEGRAL; Türevin tersi bir işlemdir bu sefer eğri bir alanın altında kalan alanların hesaplanması sözkonusudur. Türev kavramının bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğiminin bulunması probleminden ortaya çıktığını, türev bir değişlim oranı olduğundan hareket eden cisimlerin hız ve imeleri ya da buna benzer problemlerin çözümünde kullanılır demiştik. İntegral kavramına geometrik bir anlam vermek gerekirse bazı düzgün olmayan bölgelerin alanlarının bulunması probleminden ortaya çıktığını söyleyebiliriz. İntegral, hareket problemleri, dönel cisimlerin hacimleri, iş, kütle, kütle merkezi ve eylemsizlik momenti bulunması; diğer bilim dalları ile ilgili pek çok problemlerin çözümünde kullanılır. Türevi f(x) olan bir F(x) fonksiyonuna f(x) in bir ilkel fonksiyonu veya integral denir. sınırlı ya da sınırsız alanların altında kalan alanları hesaplarken alan sınırlı ise belirli integralden sınırsız ise belirsiz integralden bahsedilir.  Bu tür alanlar seri yani sonsuz (ya da sonlu) seri toplamları limit e uyarlanarak oluşturulmuştur. Yani eğriyi sonsuz sayıda karelere böldüğümüzü varsayar,limit in temel teoremleri vasıtasıyla da (yakınsama) hatasız olarak hesaplayabiliriz. Bu toplamın sonsuza götürülmesi Riemann toplamı ve integrali olarak bilinir. Henri Léon Lebesgue irrasyonel sayılar için bölüntüyü y ekseninde alarak soyut matematiğe yeni açılımlar getirmiş ve bir çok yeni uygulama alanı bulmuştur. H)DİFERANSİYEL DENKLEMLER; Tüm mühendislik uygulamalarının temelimni oluşturur. Bir veya çok değişkene göre fonksiyonların türevlerini ilişkilendirir. Diferansiyel, integral hesapları Newton (Leibniz) bulmuştur, Bu sayede çözülen problemler; *Bir cismin yol formülünden veya grafiğinden,hız ve ivmesinin hesaplanabilmesi, hız ve ivmesinden de alldığı yolun bulunabilmesi. Buradaki problem ansal hız ın ansal ivmenin bulunabilmesiydi. Bu durumda alınan yol geçen süreye bölünerek hesaplanamaz, çünkü bir "an" da alınan yol ve hız "0" dır. 0/0 ise anlamsızdır. Ancak bu şekil ivme ve hız değişimleri diferansiyel hesaplar ile bulunabilir. ** Bir eğrinin teğetinin bulunabilmesi. Bu hem bir geometri problemi,hem de bazı uygulamalarda çok önemliydi. Diferansiyel hesap ile aşılabildi. ***Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin bulunabilme sorunu yine temel teorem yakınsama dan hareketle diferansiyel hesaplar satyesinde aşıldı. Bunun önemi örneğin gezegen hareketlerinde önemlidir. Mesela bu sayede bir gezegenin güneş e en yakın ve en uzak mesafesi hesaplanabilir. **** Bir gezegenin belli bir sürede aldığı yol, eğrilerin sınırladığı alanlar, yüzeylerin sınırladığı hacimler integral hesap sayesinde bulunabilmiştir. Newton değişen sıcaklıklar,uzunluklar,alanlar, hacimler vb sürekli değişen niceliklerin nasıl bulunacağı üzerinde düşünmüş, Bir niceliğin diğerine göre ansal değişme oranını diferansiyel yöntem sonucunda (dy/dt) bulmuş, bu işlemin tersi olan integral ile de sonsuz küçüklükteki alanların toplamı olan eğri alanların alanının ölçülebileceğini göstermiştir. Bunu hesaplamaktaki amacı bir gezegenin hızından, herhangi bir anda yörüngesinin nerede bulunacağını hesaplamaktı. Aynı şekilde gezegenin yörüngesi üzerinde katettiği yoldan herhangi bir andaki hızını bulabilmek. Bulduktan 42 yıl sonra bulgularını zoraki yayınlaması bazı çatışmalara neden olmuştur aynı dönemde bu hesapları geliştiren Leibniz ile. (Aynı yöntemlerle kütleçekiminin ters kare yasasından, yörüngenin elips olacağını da matematiksel olarak kestirrek çağdaşlarına dahi olduğunu göstermiş bu sayede çalışmaları yıllar sonra zorlukla yayınlatılabilmiştir. Şu anki tüm teknik Newton a kalsaydı olmayabilirdi. O hepsini kendi özel uğraşı olarak yapmış görünmektedir, çünkü bilim dünyasına bilim dışı uygulamaları nedeniyle de küskündür.) Newton un bilim e matematik ve fizikte yaptığı katkılar saymakla bitmez. Günümüzün asıl yaratıcılarındandır. Hr yerde o ve onun yöntem ve izleri vardır. Oturduğunuz bina nın statik hesabından,uzay teknolojisine kadar. Ve ardılları olan modfern matematik ve fizik tüm modern teorileriyle birlikte on olmadan pek bir anlam ifade etmez çünkü varolamazdı. Ona inandık onun sayesinde bugünlere geldik konuşuyoruzz her şey hakkında. Öyle bulmaca çözmekle,kuru felsefe ile metafizik yanıllsamaların yorumları ile değil   Not: Khaos tarafından uğraşılıp hazırlanmıştır,çalıntı değildir. Khaos |
||
|
||
| 2. Bölüm: Matematik Paradoksları: Doğru Parçası Paradoksu: Önce doğru parçasının tarifini yapalım: Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru. Pekiyi nokta nedir? Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanın boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor: Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur. Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur. 2+2=5 X = Y ................................................o lsun X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık. X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık. (X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık. ( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti. X + X = X..........................................X = Y olduğundan, 2.X = X..............................................'X' leri topladık. 2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti. 3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik. 5 = 4................................................ ..buradan, 5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık. HATA NEREDE? Bütün Sayılar Eşittir Paradoksu: a ve b birbirinden farklı herhangi iki tamsayı ve c de bunların farkı olsun: a-b=c (a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık. a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık. a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık. a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık. a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik. a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık. a=b....................................................(a-b-c) ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri) Cantor Paradoksu: George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayısı, asıl kümeden daha fazladır. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir? "Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanıdır. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani: 2ª ?? X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan şunu yazabiliriz: card(2ª≤ card(a)................1 Çünkü alt kümelerin kardinali asıl kümelerden küçüktür veya eşittir. Ancak Cantor Teoremine göre: card(2ª) > card(a)...................2 olmalıdır. 1 ve 2 çelişmektedir. Karışım Paradoksu: Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor: Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır? Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı: Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya: İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya: İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur. Karışık Bir Hesap: İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki: -"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani: 5 Kalem...............20 TL ise 60 Kalem..............x TL'dir. Buradan; x=(60.20)/5= 240 TL Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler? (bunun çözümü ve sebebi vardı sanırım) 1 kg = 1 ton 1 kg = 1000 gr.............(1) 2 kg = 2000 gr.............(2) (1) ve (2) çarpılırsa: 2 kg = 2.000.000 gr 2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg) 2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayısı ile, 1 kg = 1 ton (İşlem hatası )Hempel Paradoksu: Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!" Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz: a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek, b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek. Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır. Arnauld Paradoksu: Herkes bilir ki; (Büyük Sayı / Küçük Sayı) ≠ (Küçük Sayı / Büyük Sayı) dır. (5 / 2) ≠ (2 / 5) gibi Ancak negatif sayılar bu kuralı bozar: (3 / -3) = (-3 / 3) Ayrıca; Büyük Sayı / Küçük Sayı) > 1 dir. (4 / 3) > 1 gibi Yine negatif sayılar için kural ihlâl edilir: (3 / -1) < 1 Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantıksız geldiği için negatif sayıların olmadığına hükmetti. (Ahan!!! adama bak. flzf başvur sende de ki bence 0.sonsuz=0 olması lazım belirsiz olması mantıksız. Adın ile paradoksun olsun )Euplides (Kum Yığını) Paradoksu: Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız. Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir? -1=1 -1= (-1½)² ( -1= (√-1)² ) -1= (-1½). (-1½) -1= ([-1].[-1])² -1= 1² (Khaos der ki: Demek ki olmuyormuş niye? Çünkü √-1 olmaz. ݲ= -1 den İ denir. Z sanal eksenindeki Karmaşık sayılar o yüzden uydurulmuştur.) Berber Paradoksu: Klasik paradokslardan biri daha: berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek? Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu) Russel Paradoksu: 1970 yılında 98 yaşında ölen Bertrand RUSSEL'ın çok bilinen paradoksu: "Bir odada papa ve ben varım. Odada kaç kişiyiz?" Cevap: "Bir kişiyiz. Çünkü ben, aynı zamanda papayım" Russel'ın "Kümeler" Paradoksu: Russel'a göre iki çeşit küme var: a) Kendisinin elemanı olan(ihtiva eden) kümeler. b) Kendisinin elemanı olmayan kümeler. Şimdi, "Kendisinin elemanı olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemanı mıdır? Ç-Alıntıdır. |
||
|
||
| 3. Bölüm: İlginç Sayılar 12.345.679 x 9 =111.111.111 12.345.679 x 18 =222.222.222 12.345.679 x 27 =333.333.333 12.345.679 x 36 =444.444.444 12.345.679 x 72 = 888.888.888 12.345.679 x 81 = 999.999.999 ARTIK RAKAMLARI 1 OLAN SAYILARIN KARELERİNİ ALMAK KOLAY! 1²= 1 11²= 121 111²= 12321 1111²= 1234321 11111²= 123454321 111111²= 12345654321 1111111²= 1234567654321 {7 adet 1} tek sayıların toplamı 1=1² 1+3= 2² 1+3+5= 3² 1+3+5+7= 4² 1+3+5+7+9= 5² 1+3+5+7+9+11= 6² (6 tek sayının toplamı) BAK ŞU İŞE 1+2= 3 4+5+6= 7+8 9+10+11+12 = 13+14+15 16+17+18+19+20 = 21+22+23+24 BAK ŞU SAYILARA 4913=(4+9+1+3)³ 5832=(5+8+3+2)³ 19683=(1+9+6+8+3)³ 17576=(1+7+5+7+6)³ 390265=(3+9+0+6+2+5)^4 234256=(2+3+4+2+5+6)^4 0 x 9) + 8 = 8 (9 x 9) + 7 = 88 (98 x 9) + 6 = 888 (987 x 9) + 5 = 8888 (9876 x 9) + 4 = 88888 (98765 x 9) + 3 = 888888 (987654 x 9) + 2 = 8888888 (9876543 x 9) + 1 = 88888888 (98765432 x 9) + 0 = 888888888 (987654321 x 9) - 1 = 8888888888 3 x 37 = 111 6 x 37 = 222 9 x 37 = 333 12 x 37= 444 15 x 37 = 555 18 x 37 = 666 21 x 37 = 777 24 x 37 = 888 27 x 37 = 999 12 x 42 = 21 x 24 12 x 63 = 21 x 36 12 x 84 = 21 x 48 23 x 96 = 32 x 69 24 x 63 = 42 x 36 24 x 84 = 42 x 48 26 x 93 = 62 x 39 13 x 62 = 31 x 26 46 x 96 = 64 x 69 42x42 + 58x58 + 63x63 = 24x24 + 85x85 + 63x63 43x43 + 52x52 + 68x68 = 34x34 + 25x25 + 86x86 43x43 + 58x58 + 62x62 = 34x34 + 85x85 + 26x26 48x48 + 52x52 + 63x63 = 84x84 + 25x25 + 36x36 Kare Kök 121 = 12-1 Kare Kök 64 = 6 + Kök 4 Kare Kök 49 = 4 + Kök 9 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 dahası da var bu da benden ek. ilk ve son sütunları toplayalım ilk sutun toplamı + son sutun toplamı; 137174205 + 1097393685 = 1234567890 hadi bulmaca ya devam saçma birşey yapıp 0 da ne ki, 8 ne ikide bir her yerde diye çıkarıp atalım sayıdan; 12345679 oldu sayımız, Bunu da p un katları ile çarpalım bakalım noolcak? 12 345 679 x 9 == 111 111 111 12 345 679 x 18 == 222 222 222 12 345 679 x 27 == 333 333 333 12 345 679 x 36 == 444 444 444 12 345 679 x 45 == 555 555 555 12 345 679 x 54 == 666 666 666 12 345 679 x 63 == 777 777 777 12 345 679 x 72 == 888 888 888 12 345 679 x 81 == 999 999 999 Hayır o değil,bir de şu var yine; 12 345 679 x 999 999 999 == 12 345 678 987 654 321 Manyak mı ne, hep bir döngüsellik. Büyü mü aksiyom mu.  Üç basamaklı herhangi bir sayıyı iki kere yanyana yazarak elde ettiğimiz yeni sayı, kesinlikle 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 sayılarına kalansız olarak bölünür(neden?). Örnek: 831831 831831 / 7 = 118833 831831 / 11 = 75621 831831 / 13 = 63987 831831 / 77 = 10803 831831 / 91 = 9141 831831 / 143 = 5817 831831 / 1001 = 831 3² + 4² = 5² 10² + 11² + 12² = 13² + 14² 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27² 36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44² Üçgen Sayılar: 1'den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... pozitif doğal sayılar ise, üçgen sayılar: 1, 3(1+2), 6(1+2+3), 10(1+2+3+4), 15(1+2+3+4+5),... üçgen sayılardır. Yani: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55... İLGİNÇ EŞİTLİKLER 2^5.9^2 = 2592 1^3+5^3+3^3=153 3^3+7^3+1^3=371 Teorem: Bütün sayılar 2'nin üsleri toplamı (tekrarsız) olarak yazılabilir. Örnekler: 12 = 2³ + 2² 12 = 8 + 4 45 = 25 + 2³ + 2² + 2° 45 = 32 + 8 + 4 + 1 PASCAL ÜÇGENİ Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur.  Pascal üçgeninin bazı özellikleri: * Kenarlar "1"den oluşur * ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir. * Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...) * Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi) * Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 2º, 2¹, 2², 2³ ,2^4 ,... (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=2^4 ) * Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. ( Örnek: (a+b)³=1a³+3ab²+3a²b+1b³) Fibonacci Dizisi: 1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...ise, fibonacci dizisi: 1, 1(0+1), 2(1+1), 3(1+2), 5(2+3), 8(3+5), 13(5+8),... yani: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Fibonacci dizisinin kullanıldığı pekçok yerden biri de "Şekil Paradoksları"ndaki üçgenli ve kareli sorulardır. (IQ sorularında da illaki çıkar, bilmemek salaklıktır sanki gibi )Not: çeşitli sitelerden Çalıntıdır. |
||
|
||
| Hah. fibonacciyi yazmamış demiştim ki sona saklamışsın. Eline sağlık. |
||
|
||
"Khaos" müthişsin  |
||
|
||
| atma yav , buldun milleti salliyon,ben yemem kocum ben külyutmam ....
|
||
|
||
| Sağolunuz arkedeşleeeer, Ozan sen ayrıca sağol tabii ki yutma külleri, sayıları yok öyle birşey. Yine de ben, devam ediyorum ve beynimizi patlatıyoruz; 4. Bölüm: Aşkın Sayılar(Transandantal Sayılar) Transandantal sayıların gerçek veya kompleks sayılar alanındaki yeri böceklerin hayvanlar alemindeki yerine çok benzer. Herkes onların en kalabalık sınıf olduğunu bilir ancak çok az insan onların bir ya da ikisinden fazlasını ismen tanır. Donald R. Newman Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Yani, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Fakat tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin √2 irrasyoneldir, ancak x² − 2 = 0 polinomunun bir köküdür. √2 irrasyoneldir kesir halinde yazılamaz ancak polinomun köküdür. ( x² +2 = 0 da olmaz x² = -2, x = 2i² çıkar, yani karmaşık sayılar da aşkın değildir.) Aşkın sayılar ise asla bir denklemin kökü olamazlar. Tek gösterilişleri vardır ve aşkın olarak en bilinenleri 2 tanedirler. Aslında sonsuz oldukları düşünülse de ispatı zordur. O nedenle her yerde olabilirler ama biz onları sayı olarak ifade etmemişizdir. Bir nevi hareketli sabitlenemeyen ve hiç bir şekilde ifade edilemeyen sayılar diyebiliriz. (Transandantal meditasyon veya "Aşk'ın sayıları" ile karıştırmayın yok öyle şeyler )Khaos gelfond schneider teoremi a ve b cebirsel sayi olsun; a, 0 ya da 1 den farkliysa; b reel rasyonel sayi degilse, a^b transandantal sayidir. bu teorem kullanilarak 2^(kok 2) ve gelfond sabitinin transandantal oldugu gosterilebilir. (gelfond sabiti = e^pi. ayrica (-1)^(-i) 'ye de esittir. transandantal bir sayidir. aleksandr gelfond'in adina verilmistir. Aşağıdaki sayılar, en sık rastlanan aşkın sayılar olarak bilinirler: 1. π (pi) 2. e (euler) 1. Л Sayısı 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 5820974944592307816406286208998628034825342117067 9 8214808651328230664709384460955058223172535940812 8 4811174502841027019385211055596446229489549303819 6 4428810975665933446128475648233786783165271201909 1 4564856692346034861045432664821339360726024914127 3 7245870066063155881748815209209628292540917153643 6 7892590360011330530548820466521384146951941511609 4 3305727036575959195309218611738193261179310511854 8 0744623799627495673518857527248912279381830119491 2 9833673362440656643086021394946395224737190702179 8 6094370277053921717629317675238467481846766940513 2 0005681271452635608277857713427577896091736371787 2 1468440901224953430146549585371050792279689258923 5 4201995611212902196086403441815981362977477130996 0 5187072113499999983729780499510597317328160963185 9 5024459455346908302642522308253344685035261931188 1 7101000313783875288658753320838142061717766914730 3 5982534904287554687311595628638823537875937519577 8 1857780532171226806613001927876611195909216420198 9... Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, p sayısını verir. İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür. Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber, gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarfetmişlerdir. p' nin kronolojik gelişimine baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır. Çeşitli formüller üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha yaklaşılmıştır. Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3.1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3.14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3.1415929, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu. 18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı. İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor. İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok. Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı.  Feynman Noktası ve Pi Sayısındaki Yinelemeler Resimde de görüldüğü üzere Pi sayısının ilk birkaç yüz basamağında iki veya üçer kez yinelenen bazı rakamlar vardır. Ancak 762. basamakta başlayan ve altı adet 9'un oluşturduğu seri gerçekten şaşıtıcıdır. Bu altılı yineleme ilk olması açısından o kadar ilginçtir ki (bundan önce dörtlü veya beşli bir yineleme yoktur) bir isim verilmeyi ve bu isimle anılmayı hakeder. Yinelemeye ünlü fizikçi Richard Feynman'ın adı verilmiş ve Feynman Noktası olarak adlandırılmıştır. Bunun nedeni ise şudur: Feynman birgün ders anlatırken öğrencilerine Pi sayısını bu yinelemeye kadar ezberlemek istediğini, çünkü böyle yaptığında ezberin sonuna gelip "dokuz dokuz dokuz dokuz ve böyle sürüp gider..." diyebileceğini söylemiştir. Buradaki gönderme insanların Pi sayısının bir basamakan sonra yinelemeye girebileceği inancına yapılan bir göndermedir.  En son Pi sayısın 1 351 100 000 000. ıncı basamağı bulunabildi.Yani 1 trilyon 351 milyar 100 milyonuncu basamak bulundu. Bunu saniyede 2 trilyon işlem yapabilen Hitachi marka bir süper bilgisayar bile ancak 500 saatte hesaplayabildi. (hitachi reklamı aferin ona )  yani; Л 2n .2n -------- = ----------------------------------------- 2 (2n-1).(2n-1) Л /4 = 1-1/3 +1/5-1/7+1/9-1/11+...........  14 Mart Dünya da pi günüdür. (3-14) 2. e sayısı  2.71828182845904523536028747135266249775724709369 99595749669676277240766303535 4759457138217852516642742746639193200305992181741 3596629043572900334295260595630 7381323286279434907632338298807531952510190115738 3418793070215408914993488416750 9244761460668082264800168477411853742345442437107 5390777449920695517027618386062 6133138458300075204493382656029760673711320070932 8709127443747047230696977209310 1416928368190255151086574637721112523897844250569 5369677078544996996794686445490 5987931636889230098793127736178215424999229576351 4822082698951936680331825288693 9849646510582093923982948879332036250944311730123 8197068416140397019837679320683 2823764648042953118023287825098194558153017567173 6133206981125099618188159304169 0351598888519345807273866738589422879228499892086 8058257492796104841984443634632 4496848756023362482704197862320900216099023530436 9941849146314093431738143640546 2531520961836908887070167683964243781405927145635 4906130310720851038375051011574 7704171898610687396965521267154688957035035402123 4078498193343210681701210056278 8023519303322474501585390473041995777709350366041 6997329725088687696640355570716 2268447162560798826517871341951246652010305921236 6771943252786753985589448969709 6409754591856956380236370162112047742722836489613 4225164450781824423529486363721... e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır. Bu sabit için birbirine eşdeğer pek çok tanım verilebilir; bunlardan bazıları aşağıda sıralanmıştır. e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:  e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır. 1. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:  2. e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:  Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir. 3. e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:  4. e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir:  Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. 5. e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:  Bernoulli denemeleri e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e,ye o kadar yakın olur. Jakob Bernoulli, e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan, bu yıllık faiz, %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/2)2 = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde, eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414... lira olacak, faiz her ay %8,333... oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130... lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925... lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,7145... lira verecektir. Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere, yakınsanan değer e sayısıdır. Şapka problemi Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:  Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır. e sayısı(Euler sayısı) , bu günkü modern anlamıyla matematik dünyasına ilk kez Euler tarafından kazandırılmıştır.(1748). Euler e sayısının, b de verdiğimiz sonsuz serinin sonucu olduğunu göstermiş, a 'da verilen formülle b'nin aynı şey olduğunu ispatlamış ve e sayısını, virgülden sonra 18. basamağa kadar hesaplamıştır. Gerçi Bernoulli daha önce, 1683'de, sürekli bileşik faiz hesapları yaparken a 'daki limiti, binom açılımını kullanıp yaklaşık olarak hesaplamış idi. Ancak bu çalışmasını logaritmayla ilişkilendirmemişti. Hatta , Bernoulli'den de önce, 1661'de Huygens, yx=1 eğrisinin( c tanımı) altında kalan alanı incelemişti. Hatırlatmakta yarar var, e sayısını doğal logaritmanın tabanı yapan bu özelliğidir. Ancak Huygens'in bu ve daha sonraki çalışmalarında, e sayısı bugünkü anlamıyla 'doğal logaritmanın tabanı' ve yukarıdaki 3 eşitlik ile de tanımlanabilen 'irrasyonal' bir 'matematik sabit' olarak matematik sahnesindeki ayrıcalıklı yerini almamıştı. Ta ki Euler'in çalışmalarına kadar. 'pi' SAYISI NİÇİN 'e' SAYINDAN DAHA ÜSTÜNDÜR? (9 kutsal neden:D ) 1.'e' sayısını telaffuz etmek fazlasıyla kolaydır. 2.'e' sayısı 2,718281828459045... şeklinde devam ettiğinden ezberlenmesi çok kolaydır, halbuki 'pi' sayısını ezberlemek hüner ister. 3'e' sayısına kolayca ulaşabilirsiniz, klavyede bile vardır. Fakat 'pi' sayısı asil bir sayı olduğundan ona ulaşabilmek için Word programının 'Sembol ekle' kısmına girmelisiniz. 4.'e' sayısının sonsuz seriler olarak ifade etmek kolaydır, 'pi' sayısını ifade edebilmekse oldukça zordur. 5.'e' sayısını Analiz derslerine başladığınızda görür ve anlarsınız, fakat 'pi' sayısını görmenizin üzerinden yıllar geçer ve hala anlamamışsınızdır. 6.İnsanlar Euler sayısı (e) ile Euler sabiti (gama) sayılarını kolayca karıştırabilirler, fakat tek bir 'pi' sayısı olduğundan 'pi' sayısı için böyle bir durum yoktur. 7.'e' sayısı bir kişinin ismini temsil eder, fakat 'pi' sayısı kendini temsil eder. 8.'pi' demek 'Euler sayısı' demekten çok daha kolaydır. 9.'pi' diyebilmek için 'Euler' isminin 'Öyler' olarak okunduğunu bilmenize gerek yoktur. |
||
|
||
Alıntı +2=5 X = Y ................................................o lsun X² = X.Y............................................eşitliğin her iki tarafını 'X' ile çarptık. X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çıkardık. (X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafı çarpanlara ayırdık, sağ tarafı 'Y' parantezine aldık. ( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadeleşti. X + X = X..........................................X = Y olduğundan, 2.X = X..............................................'X' leri topladık. 2 = 1 ................................................'X' ler sadeleşti. 3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik. 5 = 4................................................ ..buradan, 5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' şeklinde yazdık. HATA NEREDE? hepsini inceleyemedim. ama sanırım yukarıdakinde yanlış işlemi biliyorum. şöyleki; (X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y ) bu denklem de (X-Y) ler sadeleşemez, çünkü sadeleşmesi için her iki tarafın(X-Y) ye bölünmesi lazım ki, X=Y olduğundan, bu bağıntıyı tanımsız yapar. Alıntı a-b=c (a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafı (a-b) ile çarptık. a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtık. a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attık. a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sağ tarafa attık. a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sağ tarafa geçirdik. a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldık. a=b....................................................(a-b-c) ler sadeleşti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri) a(a-b-c)=b(a-b-c) bağıntısında a-b=c olduğundan a(0)=b(0) çıkar ki, buda tanımsızdır. Alıntı Karışık Bir Hesap: İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki: -"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani: 5 Kalem...............20 TL ise 60 Kalem..............x TL'dir. Buradan; x=(60.20)/5= 240 TL Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler? (bunun çözümü ve sebebi vardı sanırım) burada da ortaklıkların temeli yanlış olmuş, sanırım teklifi 1. çocuk yapmıştır  60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. bu bir yanılsamadan başka şey değil. zaten 5 tanesini 20TL ye sattığın an, tanesi 4 TL ye geliyor. ortaklık şöyle olmalıydı; 1. çocuğun kalem sayısı=30 1 kalemin fiyatı= 10/3 2. çocuğun kalem sayısı= 30 1 kalemin fiyatı=10/2 30x10/3+30x10/2 bağıntısı doğru ortaklığı verir. |
||
|
||
teşekkürler khaos. en çok zevkle okunabilir hale getirdiğin için. çok güzel. gerçekten. |
||
|
||
Bir sayısının gizemi Sekiz nereye gitti  İlginç bir matematik durumu daha. 1,2,3,4 diye sayılar ilerlerken aradan 8 atlanmış. Bu sayılar 9'un katları ile çarpıldığında ise süpriz sonuçlar ortaya çıkıyor. (daha önce anlatıldı ama sonraki konu ile bağlantılı o nedenle) Sekiz geri geldi  Bir önceki matematik gizeminde sayılar 1'den başlayıp 9'a kadar gidiyor ama arada sekiz atlanıyordu. Bu defa sekize de yer verilmiş ama sıralama tersten yapılmış. Bu sayılar 9'un katları ile çarpıldığında ise süpriz sonuçlar ortaya çıkıyor.Baştaki ve sondaki rakamların toplamı 9. Dikkat ettiniz mi? Dokuzun marifetleri 1  Dokuzun marifetleri 2  Dokuzun marifetleri 2  (yanlış yazılmış,en başta =,... şeklinde olması lazım) Matematik Piramidi  Kuvvetli Sayılar  Üslü Sayılar  Sayıların Kuvveti  Faktöriyel Faktörü  |
||
|
||
İnsanlar da çoğu zaman matematik pramidine benziyorlar; aynı sonucun farklı ifadeleri gibiler!? ve kendisiyle çarpılan, aynı üsse sahip, farklı bedenlere bürünmüşler... Yek olan uç noktada! *** Khaos devamını bekliyoruz
|
||